Limites al infinito

Limites al infinito

Límites Al Infinito

En la unidad 8 se ha considerado el límite de una función f (x) cuando , ó , siendo a un número real.

Ahora, se quiere conocer el comportamiento de f (x) cuando la variable x toma valores positivos o negativos tan grandes en valor absoluto como se quiera. Esto último se expresa frecuentemente en el cálculo usando los símbolos: ó .

Considere por ejemplo la función: y cuya gráfica aparece en la fig. 9.18.

fig. 9.18.

En la tabla 1 aparecen tabulados los valores de f (x) cuando la variable x toma sucesivamente los valores: 0, 1, 10, 100, 1.000, 10.000 y 100.000. 
 

x
0	1.33
1	1.4
10	1.47826
100	1.4975369
1000	1.4997504
10000	1.499975
100000	1.4999975

Tabla 1

x
-1	1
-10	1.52941
-100	1.502538
-1000	1.50025
-10000	1.500025
-100000	1.5000025

 Tabla 2 

Nótese que a medida que la variable x toma valores más y más grandes, f (x) se aproxima cada vez mas al valor 1.5.

Observe, además, que cuando x = 100, entonces y cuando x = 1000, entonces .

Esto muestra que cuando la variable x toma valores más y más grandes, entonces la cantidad se hace cada vez más pequeña.

Supóngase ahora que se quiere que . ¿Qué valores de la variable x satisfacen esta desigualdad?

Se puede verificar que si , entonces . En particular, si .

Lo anterior se puede generalizar de la manera siguiente:

Dado un número , tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un número tal que:

Si , entonces y esto se expresa escribiendo: .

Considérese ahora los valores tabulados en la tabla 2. Nótese que a medida que la variable x toma valores negativos y grandes en valor absoluto, nuevamente f (x) se aproxima cada vez mas al valor 1.5.

Asi, cuando x = – 100, entonces,

cuando x = – 10.000, entonces,

Aquí también tiene cabida la siguiente pregunta: ¿Para que valores de x negativos, se verifica que ?

Se puede probar fácilmente (hágalo como ejercicio) que si , entonces se cumple la desigualdad deseada. En particular, si , entonces, .

Lo anterior se puede generalizar diciendo que al fijar un número , se puede encontrar un número , tal que si , entonces y esto equivale a decir que: .

De una manera mas general se tiene la siguiente definición:

Definición:

1. Sea f una función definida en un intervalo . Entonces:
   (L R) si y solo si, para cada , existe un B > 0 tal que, para todo , si , entonces, .
2. Sea f una función definida en un intervalo . Entonces:
   (L R) , si y solo si, para cada , existe un tal que, para todo , si , entonces, .

Observaciones:

1. La definición anterior (parte i.) puede interpretarse geométricamente asi: fijado un número positivo e , siempre es posible encontrar un número positivo B, a partir del cual todos los valores funcionales están en el intervalo . (fig. 9.19.).
Similarmente, la parte ii. puede interpretarse asi: fijado un número positivo e , siempre es posible encontrar un número negativo B, para el cual si se evalúa la función en puntos anteriores a B, dichos valores funcionales están en el intervalo . (fig. 9.19.).

fig. 9.19.

ii. Para una función dada puede suceder que: 
 

1. , y, , L K.

Asi por ejemplo, para la función  y cuya gráfica aparece en la fig. 9.20. se cumple que: 

(Ver ejercicio 18 de la sección 9.10.). 

Fuente: Infinito