Función exponencial

Función exponencial 

Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x²   y   g(x) = 2^x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición:  Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2^x                                  

Propiedades de f(x) = b^x, b>0, b diferente de uno:

1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3)  El eje de x es la asíntota horizontal.

4)  Si  b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.

5)  Si  0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.

6)  La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:

1) Leyes de los exponentes:

   

2)  a^x = a^y  si y sólo si  x = y

3)  Para x diferente de cero, entonces a^x = b^x  si y sólo si  a = b.

Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1)  2^x = 8

2)  10^x = 100

3)  4 ^{x - 3} = 8

4)  5 ^{2 - x} = 125

Ejercicio de práctica:  Halla el valor de x:

1)  2^x = 64

2)  27 ^{x + 1} = 9

La función exponencial de base e

Al igual que p, e  es un número irracional donde e = 2.71828...  La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). 

Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = e^x  define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e^x.

La gráfica de f(x) = e^x  es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función  f(x) = e^x  es una  función exponencial natural.  Como 2<e<3, la gráfica de

f(x) = e^x  está entre f(x) = 2^x  y  f(x) = 3^x, como se ilustra a continuación:

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

Ejemplos:  Simplifica.

Ejemplo:  Halla el valor de x en  e ^{x + 1}  =  e ^{3x - 1}

Práctica:

1)  Simplifica:  (e ^{3x + 1}) (e ^{2x – 5})

2)  Halla el valor de x en  e^{3x – 4} =  e^2x

La gráfica de la función exponencial f(x) = e^-x  es:

  Fuente: Función exponencial