Dominio y rango de una funcion

Introducción

Estudiar el dominio y el rango de una función es muy importante en las matemáticas. Conocer los mismos es primordial a la hora de analizar y describir el comportamiento de una función. Si seguimos considerando a f como una máquina de entrada y salida, entonces se definen los conceptos de dominio y rango como sigue:
Definición: (Dominio)
Son todos los valores que se pueden entrar a una función.


Cuando se ingresan valores del dominio en una función se obtienen valores del rango.

Definición: (Rango)
Son todos los valores que pueden salir de una función. El rango es también conocido como el recorrido, alcance o campo de valores de una función.

Para ilustrar los conceptos de dominio y rango consideremos lo siguiente:

A una tienda le quedan 5 manzanas a un costo de 50 centavos cada una. Si se describe una función de venta, encuentre el dominio y el rango para esta función.

El problema se resume a pensar lo siguiente: suponga que tiene una máquina que dado el numero de manzanas nos devuelve el costo de las mismas. El dominio viene dado por el numero de manzanas que podemos entrar en la maquina y el rango por los costos que salen de la misma (ver la siguiente figura).


Asi que el dominio y el rango vienen dados por:

Dominio={0,1,2,3,4,5}     ,     Rango={0,0.5,1,1.5,2,2.5}.

Dominio y Rango Gráficamente
Es posible encontrar el dominio y el rango de una función si se nos provee su gráfica. Para encontrar el dominio de una función utilizando su gráfica se debe prestar particular atención al eje de x, observando para que valores de x podemos encontrar un valor asociado de la función. El rango se encuentra utilizando el eje de y, observando para que valores de y la función está definida. La siguiente aplicación interactiva nos permite ver el dominio y el rango de una función radical. El dominio de esta función es ilustrado en la gráfica utilizando una línea de color rojo, del mismo modo el rango es ilustrado utilizando una línea de color verde. En este caso la línea de color rojo comienza en 4 y se extiende indefinidamente, esto nos indica que
Dominio de f ={x de manera que x≥4}
Del mismo modo la línea de color verde comienza en 0 y se extiende indefinidamente, por lo tanto
Rango de f ={y de manera que y≥0}

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Creado por Jesús M. Cajigas utilizando GeoGebra

Los valores de a, h y k pueden ser cambiados en la aplicación anterior arrastrando el punto que aparece en la parte inferior de cada letra hacia la izquierda o la derecha. Utiliza la aplicación anterior, para investigar el dominio y el rango de las siguientes funciones.

g(x)=x-2+1     ,     g(x)=-x+1-2

Para practicar más sobre el dominio y el rango de funciones radicales utilizando su gráfica haga click en el siguiente enlace


La siguiente gráfica muestra una función racional, encontremos su dominio y su rango. Para encontrar el dominio de esta función observamos el eje de x y nos preguntamos, para que valores de x hay un valor f(x) correspondiente? En este caso para todo x diferente de 1 existe un f(x), por lo tanto,
Dominio de f ={x de manera que x es diferente de 1}
Del mismo modo, para encontrar el rango de esta función observamos el eje de y y nos preguntamos, para que valores de y la función está definida? Al igual que en el dominio excluimos un valor, para todo y diferente de 2 la función está definida , por lo tanto,
Rango de f ={y de manera que y es diferente de -2}
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Haciendo uso de la aplicación anterior, investiga el dominio y el rango de las siguientes funciones.

g(x)= 1 x +1    ,     h(x)= -2 x + 4 +3

Para practicar más sobre el dominio y el rango de funciones radicales utilizando su gráfica haga click en el siguiente enlace

Practica aqui: Practicas

Fuente: quiz.uprm.edu